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$\textsf{\bf\color{AzulSite}ITA}$ De uma caixa que contém ${\color{AzulSite}10}$ bolas brancas e $\color{AzulSite}6}$ bolas pretas, são selecionadas ao acaso $\color{AzulSite}k}$ bolas.

${ \bf\color{AzulSite}\textsf{a)}}$ Qual a probabilidade de que exatamente $\color{AzulSite}r}$ bolas sejam brancas, nas condições $\color{AzulSite}0\leq k-r\leq 6}$ e $\color{AzulSite}0\leq k \leq10}$ ?

${\bf \color{AzulSite}\textsf{b)}}$ Use o item ${\color{AzulSite} a)}$ para calcular a soma

$\sum_{r=0}^{6}\binom{10}{r}\binom{6}{6-r}.$

${\color{AzulSite}\rule{12.5cm}{1px}}$

$\textsf{\bf\color{AzulSite}Solu\c{c}\~{a}o :}$

${\color{AzulSite}\bf\textsf{a)}}$ Vamos resolver o exercício por $\textsf{\color{AzulSite}combina\c{c}\~{a}o}$ , para tanto, devemos olhar a contagem como se a ordem não importasse, tanto para o $\textsf{\color{AzulSite} evento}$ de interesse quanto para o $\textsf{\color{AzulSite} espa\c{c}o amostral}$ .

O espaço amostral, ${\color{AzulSite}\Omega}$ , isto é, o número total de possibilidades de retiradas da caixa, é

$\# (\Omega) = \binom{16}{k}$

O evento que estamos interessados, vamos chamá-lo de ${\color{AzulSite}E=r}$ , é das ${\color{AzulSite}k}$ bolas retiradas ${\color{AzulSite}r}$ são brancas (dentro das restrições), e isso implica escolher ${\color{AzulSite}r}$ bolas brancas e ${\color{AzulSite}k-r}$ bolas pretas:

$\# (E=r)= \binom{10}{r}\cdot\binom{6}{k-r}$

Logo, a probabilidade do evento ${\color{AzulSite}E=r}$ é

$\mathbb{P}(E=r)=\dfrac{\#(E=r)}{\#(\Omega)}=\dfrac{\displaystyle\binom{10}{r}\cdot\binom{6}{k-r}}{\displaystyle\binom{16}{k}}$

${\color{AzulSite}\bf\textsf{b)}}$ Fixando ${\color{AzulSite} k=6}$ no item anterior, isto é, ${\color{AzulSite}6}$ bolas selecionadas, temos que a soma de todas as probabilidades, para todos os possíveis valores de ${\color{AzulSite} r}$ vale ${\color{AzulSite}1}$ , assim

$\sum_{r=0}^{6}\mathbb{P}(E=r)= 1 = \sum_{r=0}^{6}\dfrac{\displaystyle\binom{10}{r}\cdot\binom{6}{6-r}}{\displaystyle\binom{16}{6}}$

Portanto,

$\sum_{r=0}^{6}\displaystyle\binom{10}{r}\cdot\binom{6}{6-r}= \binom{16}{6}=\dfrac{16!}{10!\cdot 6!}=8.008$

${\color{AzulSite}\rule{12.5cm}{1px}}$

Exercício resolvido por ${\bf\color{AzulSite}\textsf{Luiz Ol\'{i}mpio Calixto}}$ . Qualquer dúvida pode mandar mensagem através dos contatos: ${\color{AzulSite}(11) 9.7287-9260}$ ou ${\color{AzulSite} alunos@localixto.net}$