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Resolução #242

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Resolução #236B

\textsf{\bf\color{AzulSite}ITA} De uma caixa que contém {\color{AzulSite}10} bolas brancas e \color{AzulSite}6} bolas pretas, são selecionadas ao acaso \color{AzulSite}k} bolas.

{ \bf\color{AzulSite}\textsf{a)}} Qual a probabilidade de que exatamente \color{AzulSite}r} bolas sejam brancas, nas condições \color{AzulSite}0\leq k-r\leq 6} e \color{AzulSite}0\leq k \leq10}?

{\bf \color{AzulSite}\textsf{b)}} Use o item {\color{AzulSite} a)} para calcular a soma

    \[\sum_{r=0}^{6}\binom{10}{r}\binom{6}{6-r}.\]

{\color{AzulSite}\rule{12.5cm}{1px}}

\textsf{\bf\color{AzulSite}Solu\c{c}\~{a}o :}

{\color{AzulSite}\bf\textsf{a)}} Vamos resolver o exercício por \textsf{\color{AzulSite}combina\c{c}\~{a}o}, para tanto, devemos olhar a contagem como se a ordem não importasse, tanto para o \textsf{\color{AzulSite} evento} de interesse quanto para o \textsf{\color{AzulSite} espa\c{c}o amostral}.

O espaço amostral, {\color{AzulSite}\Omega}, isto é, o número total de possibilidades de retiradas da caixa, é

    \[\# (\Omega) = \binom{16}{k}\]

O evento que estamos interessados, vamos chamá-lo de {\color{AzulSite}E=r}, é das {\color{AzulSite}k} bolas retiradas {\color{AzulSite}r} são brancas (dentro das restrições), e isso implica escolher {\color{AzulSite}r} bolas brancas e {\color{AzulSite}k-r} bolas pretas:

    \[\# (E=r)= \binom{10}{r}\cdot\binom{6}{k-r}\]

Logo, a probabilidade do evento {\color{AzulSite}E=r} é

    \[\mathbb{P}(E=r)=\dfrac{\#(E=r)}{\#(\Omega)}=\dfrac{\displaystyle\binom{10}{r}\cdot\binom{6}{k-r}}{\displaystyle\binom{16}{k}}\]

 

{\color{AzulSite}\bf\textsf{b)}} Fixando {\color{AzulSite} k=6} no item anterior, isto é, {\color{AzulSite}6} bolas selecionadas, temos que a soma de todas as probabilidades, para todos os possíveis valores de {\color{AzulSite} r} vale {\color{AzulSite}1}, assim

    \[\sum_{r=0}^{6}\mathbb{P}(E=r)= 1 = \sum_{r=0}^{6}\dfrac{\displaystyle\binom{10}{r}\cdot\binom{6}{6-r}}{\displaystyle\binom{16}{6}}\]

Portanto,

    \[\sum_{r=0}^{6}\displaystyle\binom{10}{r}\cdot\binom{6}{6-r}= \binom{16}{6}=\dfrac{16!}{10!\cdot 6!}=8.008\]

{\color{AzulSite}\rule{12.5cm}{1px}}

Exercício resolvido por {\bf\color{AzulSite}\textsf{Luiz Ol\'{i}mpio Calixto}}. Qualquer dúvida pode mandar mensagem através dos contatos: {\color{AzulSite}(11)  9.7287-9260}  ou {\color{AzulSite} alunos@localixto.net}

 

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